일 | 월 | 화 | 수 | 목 | 금 | 토 |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
27 | 28 | 29 | 30 |
- Standford
- slideshare
- paper_review
- review
- install
- Ai
- github
- tab
- linux
- seq2seq
- gensim
- git
- deeplearning
- computer
- language_model
- cs231n
- machinelearning
- nlp
- text
- Statistics
- cs224n
- terminal
- Stanford
- code
- Vim
- pip
- computer_setting
- json
- error
- natural_language_processing
- Today
- Total
NLP/AI/Statistics
[수리통계]Chap.5 확률변수의 분포2 본문
지난 글에서 확률변수의 개수에 따른 분포와 변환방법에 대하여 설명하였다.
이번 글에서는 아래의 목차에 대하여 설명할 예정이다.
5.4) 적률생성함수기법
5.5) 정규분포와 관련된 확률함수
오늘 설명할 5.4) 적률생성함수기법 은 이전 글 중 이산형 확률분포1 에서도 언급하기 때문에 참고해도 좋을 것 같다.
5.4) 적률생성함수기법
Y=u(X1,X2,...,Xn)에 대하여 Y의 적률생성함수는 E[etu(X1,X2,...,Xn)]으로 계산된다.
예제1)
"확률변수 X1,X2를 서로 독립이고 공간 {1,2,3,4} 위에서 균일분포를 갖는다고 할 때,
Y=X1+X2에 대한 Y의 mgf는?"
MY(t)=E(etY=E(et(X1+X2))
=E(etX1etX2)=E(etX1)E(etX2)
MX(t)=E(etX)=et14+e2t14+e3t14+e4t14
MY(t)=(MX(t))2
=[et14+e2t14+e3t14+e4t14]2
즉, 위의 예시와 함께 적률생성함수를 정리하면
X1,X2,...,Xn가 각각 적률생성함수
MXi(t), hi<t<hi, hi>0, i=1,2,...,n를 갖는 서로 독립인 확률변수라고 할 때,
Y=∑ni=1aiXi의 적률생성함수는 다음과 같다.
MYt=E(et∑iaiXi)=E(n∏i=1etaiXi)
=n∏i=1E(etaiXi)
=n∏i=1MXi(ait)
추가적인 특성으로는,
X1,X2,...,Xn가 각각 적률생성함수 M(t), −h<t<h,를 갖는 분포에서
추출한 확률표본이라고 할 때,
a) Y=∑ni=1Xi의 적률생성함수는
MY(t)=n∏i=1M(t)=[M(t)]n, −h<t<h
b) ˉX=1n∑ni=1Xi의 적률생성함수는
MˉX(t)=n∏i=1M(tn)=[M(tn)]n, −h<tn<h
5.5) 정규분포와 관련된 확률함수
X1,X2,...,Xn가 각각 평균 m1,m2,...,mn과 분산 σ21,σ22,...,σ2n을 갖는 서로 독립인 정규 확률변수라고 할 때,
선형함수 Y=∑ni=1ciXi는 아래와 같이 정규분포를 갖는다.
N(n∑i=1cimi,n∑i=1c2iσ2i)
#. ci는 상수이다.
X1,X2,...,Xn이 정규분포 N(m,σ2)에서 추출한 크기가 n인 확률표본이라고 할때,
표본평균 ˉX의 분포는 N(m,σ2n)을 갖는다.
ˉX=∑ciXi, ci=1n
mˉX=∑1nm=m
σ2ˉX=∑1n2σ2=σ2n
예제1)
"X1,X2,...,Xn은 N(50,16) 분포로부터 추출한 확률표본이다."
(1) 표본평균 ˉX의 분포는?
ˉX N(50,16n)
(2) n=64일 때, P(49<X<51)는?
P(49−504<Z<51−504)
=P(−0.25<Z<0.25)
(3) n=64일 때, P(49<ˉX<51)는?
ˉX N(50,(12)2)
#. 1664=14=(12)2
P(49−5012<Z<51−5012)
=P(−2<Z<2)
X1,X2,...,Xn는 정규분포 N(m,σ2)에서 추출한 크기가 n인 확률표본이다.
ˉX=1n∑ni=1Xi는 표본평균이고
S2=1n−1∑ni=1(Xi−ˉX)2는 표본분산이라고 하면 아래의 특징이 성립한다.
(a) ˉX와 S2은 독립이다.
(b) (n−1)S2σ2는 χ2(n−1)를 갖는다.
#. (n−1)S2σ2=∑(Xi−ˉX)2σ2
즉,
ˉX N(m,σ2n)
ˉX−mσ√n N(0,1)
(ˉX−mσ√n)2 χ2(1)
이 때,
U=n∑i=1(Xi−m)2σ2 χ2(n)
에서 모평균 m가 표본평균 ˉX로 대체되면서 자유도 1이 상실된다.
#. X1,X2,...,Xn이 N(m,σ2) 분포로부터 추출한 크기 n의 확률표본이라고 할 때,
Z=ˉX−mσ√n, U=(n−1)S2σ2
이라고 하면
Z N(0,1)이고, U χ2(n−1)이며, Z와 U가 서로 독립이다.
이에 따라,
T=ˉX−mσ√n√(n−1)S2σ2(n−1)
=ˉX−mS√n t(n−1)
'Statistics > 수리통계' 카테고리의 다른 글
[수리통계] Chap.6 점추정1 (0) | 2020.11.27 |
---|---|
[수리통계]Chap.5 확률변수의 분포3 (0) | 2020.11.25 |
[수리통계]Chap.5 확률변수의 분포1 (0) | 2020.11.16 |
[수리통계]Chap.4 이변량 분포 2(조건부 분포) (0) | 2020.11.12 |
[수리통계]Chap.4 이변량 분포 1(상관계수) (0) | 2020.11.05 |