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[수리통계]Chap.5 확률변수의 분포2

Danbi Cho 2020. 11. 19. 20:22

지난 글에서 확률변수의 개수에 따른 분포와 변환방법에 대하여 설명하였다.

 

이번 글에서는 아래의 목차에 대하여 설명할 예정이다.

 

5.4) 적률생성함수기법

5.5) 정규분포와 관련된 확률함수

 

오늘 설명할 5.4) 적률생성함수기법 은 이전 글 중 이산형 확률분포1 에서도 언급하기 때문에 참고해도 좋을 것 같다.

 

5.4) 적률생성함수기법

 

Y=u(X1,X2,...,Xn)에 대하여 Y의 적률생성함수는 E[etu(X1,X2,...,Xn)]으로 계산된다.

 

예제1)

 

"확률변수 X1,X2를 서로 독립이고 공간 {1,2,3,4} 위에서 균일분포를 갖는다고 할 때,

Y=X1+X2에 대한 Y의 mgf는?"

 

MY(t)=E(etY=E(et(X1+X2))

=E(etX1etX2)=E(etX1)E(etX2)

MX(t)=E(etX)=et14+e2t14+e3t14+e4t14

 

MY(t)=(MX(t))2

=[et14+e2t14+e3t14+e4t14]2

 

즉, 위의 예시와 함께 적률생성함수를 정리하면

 

X1,X2,...,Xn가 각각 적률생성함수

 

MXi(t), hi<t<hi, hi>0, i=1,2,...,n를 갖는 서로 독립인 확률변수라고 할 때,

 

Y=ni=1aiXi의 적률생성함수는 다음과 같다.

 

MYt=E(etiaiXi)=E(ni=1etaiXi)

=ni=1E(etaiXi)

=ni=1MXi(ait)

 

추가적인 특성으로는,

 

X1,X2,...,Xn가 각각 적률생성함수 M(t), h<t<h,를 갖는 분포에서

추출한 확률표본이라고 할 때, 

 

a) Y=ni=1Xi의 적률생성함수는

MY(t)=ni=1M(t)=[M(t)]n, h<t<h

 

b) ˉX=1nni=1Xi의 적률생성함수는

MˉX(t)=ni=1M(tn)=[M(tn)]n, h<tn<h

 

5.5) 정규분포와 관련된 확률함수

 

X1,X2,...,Xn가 각각 평균 m1,m2,...,mn과 분산 σ21,σ22,...,σ2n을 갖는 서로 독립인 정규 확률변수라고 할 때,

 

선형함수 Y=ni=1ciXi는 아래와 같이 정규분포를 갖는다.

 

N(ni=1cimi,ni=1c2iσ2i)

 

#. ci는 상수이다.

 

X1,X2,...,Xn이 정규분포 N(m,σ2)에서 추출한 크기가 n인 확률표본이라고 할때,

표본평균 ˉX의 분포는 N(m,σ2n)을 갖는다.

 

ˉX=ciXi,  ci=1n

mˉX=1nm=m

σ2ˉX=1n2σ2=σ2n

 

예제1)

 

"X1,X2,...,XnN(50,16) 분포로부터 추출한 확률표본이다."

 

(1) 표본평균 ˉX의 분포는?

ˉX N(50,16n)

 

(2) n=64일 때, P(49<X<51)는? 

P(49504<Z<51504)

=P(0.25<Z<0.25)

 

(3) n=64일 때, P(49<ˉX<51)는?

ˉX N(50,(12)2)

#. 1664=14=(12)2

P(495012<Z<515012)

=P(2<Z<2)

 

X1,X2,...,Xn는 정규분포 N(m,σ2)에서 추출한 크기가 n인 확률표본이다. 

ˉX=1nni=1Xi는 표본평균이고

S2=1n1ni=1(XiˉX)2는 표본분산이라고 하면 아래의 특징이 성립한다.

 

(a) ˉXS2은 독립이다.

(b) (n1)S2σ2χ2(n1)를 갖는다.

#. (n1)S2σ2=(XiˉX)2σ2

 

즉, 

 

ˉX N(m,σ2n)

ˉXmσn N(0,1)

(ˉXmσn)2 χ2(1)

 

이 때,

 

U=ni=1(Xim)2σ2 χ2(n)

 

에서 모평균 m가 표본평균 ˉX로 대체되면서 자유도 1이 상실된다.

 

 

#. X1,X2,...,XnN(m,σ2) 분포로부터 추출한 크기 n의 확률표본이라고 할 때,

Z=ˉXmσn, U=(n1)S2σ2

이라고 하면

 

Z N(0,1)이고, U χ2(n1)이며, ZU가 서로 독립이다.

 

이에 따라,

 

T=ˉXmσn(n1)S2σ2(n1)

=ˉXmSn t(n1)

 

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